Variables en M13: Astros no variables (página 2)

Partes: 1, 2

Figura 2. Caída de brillo de la estrella
S5 durante el año 2003 medida con
IRIS: tal como puede apreciarse el descenso de
brillo (sólo 0.163 magnitudes) es constante a lo
largo de toda la campaña fotométrica.

Figura 3. Caída de brillo de las estrellas
S7 y S6 durante el año 2003 medida
con
IRIS: la pérdida de magnitud es
idéntica a la de S5.

De ellas 12 (el 40%) son astros sospechosos de variabilidad o
no variables elegidas por nosotros (ver figura 1) para comprobar
su estabilidad lumínica; podemos destacar en la lista las
cefeidas V2 y V6 y las débiles RR Lyrae
V8, V31 y V34; las 6 estrellas rotuladas con
la sigla S (de Star) fueron elegidas en la
campaña de 2001 para su estudio debido a su alejamiento
del núcleo y a su relativa soledad en la zona: de todas
ellas sólo S4 (V43) ha resultado ser una nueva
variable, siendo confirmada por Kopacki y equipo poco antes de
que nosotros publicásemos nuestros primeros resultados, a
finales del verano de 2001. No mostramos en este trabajo su curva
de luz ya que será estudiada en un artículo
futuro.

AstroArt* es un programa que permite no sólo hacer
astrometría de calidad, sino también
fotometría de precisión; para ello es preciso
comenzar por calibrar cada imagen eligiendo 5 estrellas no
variables previamente bien estudiadas por astrónomos
profesionales (L222 y L261 por Kopacki en 2001, el resto por
Osborn en 2000), cuyos parámetros (número
Ludendorff y magnitud V**) son los siguientes:

(*) De la firma MSB Software

(**) Para evitar confusiones las magnitudes tomadas del
trabajo de Cudworth-Monet (1979) se marcan con la letra b,
las de Osborn (2000) con la letra c. Una vez calibrada la
imagen, y comprobada la correcta identificación de cada
uno de los astros de referencia, procedimos a obtener la
fotometría de todas las estrellas: dependiendo de la
calidad de las tomas (enfoque, seguimiento o relación
señal/ruido) el programa podía identificar entre
150 y 400 estrellas por imagen; ahora bastaba ir tocando sobre
cada una de ellas para obtener automáticamente su magnitud
instrumental (este proceso era más lento, delicado y
sujeto a errores humanos con IRIS ya que había que
buscar a mano el fotocentro de cada estrella). En las primeras
pruebas comprobamos con total satisfacción que la
diferencia entre la magnitud V facilitada por Osborn (o Cudworth
y Monet cuando Osborn no las había estudiado) y la
magnitud instrumental recién obtenida diferían de
muy pocas milésima a pocas centésimas de magnitud,
según el brillo de la estrella, la calidad de la imagen y
el apiñamiento de la zona en la que se situase.

Para la detección de variabilidad podemos emplear dos
métodos distintos:

a) el análisis de la curva de luz de cada estrella de la
muestra, observando su magnitud y comportamiento lumínico
a lo largo del tiempo.

b) el examen de los valores de la desviación típica
respecto al valor medio de los valores de la fotometría
individuales.

Observando las curvas de luz de las estrellas estudiadas
comprobamos que la amplitud de las mismas (amplitud
ficticia podríamos llamarla) oscila entre 0.12 y 0.24
magnitudes como máximo, aunque este valor está
concentrado en el rango 0.12-0.19 magnitudes; Welty, en su
trabajo sobre búsqueda de estrellas variables en
cúmulos globulares (1985), comenta acertadamente que la
desviación típica es un buen
indicador de variabilidad, ya que mientras que las variables
presentan un valor grande las estrellas de brillo constante van a
mostrar sólo la desviación estándar
originada por el error
aleatorio producido al efectuar las mediciones.

Figura 4. Curva de luz de la binaria eclipsante V2031
Cyg.

En la figura 4 podemos apreciar la curva de luz de la binaria
eclipsante V2031 Cyg y de una de las estrellas de
comparación, tomadas por Kim y Lee (1996) con el
telescopio de 61 cm de apertura del Seoul National University
Observatory; notemos que esta última se mantiene
estable en la magnitud 8.91 pero con una dispersión de 0.1
magnitudes en la primera noche de observación, siendo el
error de ±0.05 magnitudes.

Al analizar las primeras 78 mediciones de la cefeida V2
(figura 5) apreciamos una dispersión de hasta 1.23
magnitudes en las observaciones: esto no es debido al error
aleatorio, sino a su gran amplitud lumínica.

Figura 5. Curva de luz de V2 en bruto: la
dispersión de las mediciones (1.23 magnitudes) es
debida a su variabilidad.

En el caso que nos ocupa la pequeña amplitud de las
curvas de brillo que obtenemos puede interpretarse como
oscilaciones lumínicas espúreas de 0.05 a
0.11 magnitudes sobre o bajo su magnitud media. Dada la
pequeña abertura del equipo utilizado (203 mm), la baja
relación señal/ruido en los astros más
débiles (exposiciones de 40 s con filtro V Johnson), la
posición de la estrella en el cúmulo y la calidad
de las imágenes podemos achacar esta amplitud ficticia a
meros errores aleatorios en el proceso de medición
y no a una verdadera variabilidad (sólo podríamos
detectar una variabilidad real cuando las oscilaciones de brillo
fuesen superiores al error cometido: amplitudes de 0.05 a
0.09 magnitudes como poco); no debemos olvidar que estamos
midiendo el brillo V Johnson de astros cuya magnitud es siempre
superior a la 12.2…

El resultado ha sido satisfactorio y lo comentamos estrella a
estrella indicando en cada caso la magnitud Vb o Vc, el
índice de color B-V y su temperatura efectiva (del trabajo
de Pilachowski et al., 1996) si ésta se conoce;
dado que la magnitud estándar de las estrellas presenta
una precisión de 2 dígitos (es decir,
centésimas de magnitud) hemos redondeado todas nuestras
magnitudes instrumentales también a 2 dígitos para
poder compararlas. La magnitud instrumental media Vi* no
es más que la media de las mediciones obtenidas de
cada astro (de 112 a 94, según la estrella) y nos muestra
cuál es el brillo promedio del mismo; aunque este dato no
puede compararse directamente con los resultados publicados sin
haber realizado previamente una adecuada calibración
fotométrica, la diferencia entre nuestras magnitudes y las
de Osborn o Cudworth y Monet son muy reducidas. Veamos ya los
resultados mostrados en las figuras 6, 7 y 8. (*) Hemos
determinado estos valores por medio de las funciones
estadísticas del programa Apple Works 6,
tratando cada conjunto de datos -estrella- de modo
independiente.

Figura 6. Curvas de brillo de L199, L777 y L773: todas
ellas dibujan líneas rectas y, por tanto, no
parecen ser variables.

L199:
De magnitud 12.21c es un astro empleado por nosotros como
estrella de calibración fotométrica en las
tres campañas (2001, 2002 y 2003); las oscilaciones
lumínicas de S5 (figura 2), S6 y S7 (figura 3),
todas ellas no variables cuya magnitud había ido
bajando sorprendentemente de modo coherente y constante a
lo largo de la campaña 2003, así como los
nulos resultados obtenidos en variables de reducida
amplitud (como V18 o V38) nos llevaron a pensar que
realmente era variable. Las curvas de luz de S5 de los
años
2001-2003 (que reflejaban las presuntas oscilaciones
lumínicas de L199) eran consistentes con un
período superior a los 245 días; el programa
AstroArt ha puesto de manifiesto lo que ya
habían afirmado los profesionales: L199 es una
estrella de brillo constante que, como máximo, puede
presentar oscilaciones de luz inferiores a 0.05-0.08
magnitudes. Su índice de color B-V (1.35) es bajo
siendo un astro moderadamente caliente (en torno a los
4200º K) y, por tanto, no variable según la
hipótesis presentada por Osborn. Se ha mostrado
constante en su brillo dentro del rango 12.103- 12.257
(mag. instrumental media Vi: 12.186) con una amplitud
ficticia (dispersión) de 0.154 magnitudes,
que equivale a un brillo constante de magnitud 12.186
(: 0.042). La diferencia
entre nuestra Vi y el valor facilitado por Osborn es de
-0.02 magnitudes.

L777:
No fue estudiada por Osborn pero al situarse lejos del
núcleo nos ha parecido interesante seguirla; de
magnitud 12.86b, índice de color B-V 1.13 y
temperatura efectiva 4450º K es lo suficientemente
caliente como para no ser tampoco una variable; las
mediciones así lo muestran a lo largo de todo el
tiempo observado ya que se ha detectado dentro del rango
12.811-12.971 (Vi: 12.895) con una amplitud ficticia de
0.160 magnitudes: esto equivale a haber medido el brillo de
un astro no variable de magnitud 12.895 (: 0.039). La diferencia
de nuestra Vi con el brillo dado por Cudworth y Monet es de
0.03 magnitudes.

L773:
Con magnitud 13.16c es uno de los astros más
débiles estudiados, dejando aparte las estrellas RR
Lyrae que han sido incluídas también. Por su
índice de color B-V (1.03) no debe ser variable ya
que es bastante más caliente que las estrellas
gigantes rojas que sí lo son: nuestras mediciones la
muestran constante en su brillo a lo largo del
período estudiado en el rango 13.113- 13.332 (Vi:
13.226); su debilidad ha ocasionado una mayor
dispersión en las mediciones que sube a nada menos
que 0.219 magnitudes: esto equivale a haber medido el
brillo de un astro no variable de magnitud 13.226
(: 0.051). La diferencia
entre la magnitud instrumental media Vi y el valor dado por
Osborn es de 0.07 magnitudes.

S2 (L77):
Con magnitud 12.77b es otra de las estrellas no medidas ni
estudiadas por Osborn, de
modo que su magnitud V proviene del viejo trabajo de
Cudworth-Monet (1979). Situada al lado de V18 posee una
temperatura efectiva de 4350º K (índice de
color B-V: 1.20) y es demasiado caliente para ser variable:
se ha detectado en el rango 12.675-12.808 (Vi: 12.749) con
una amplitud ficticia de 0.133 magnitudes, lo que equivale
a haber medido el brillo de un astro no variable de
magnitud 12.749 (: 0.039). La diferencia
entre la magnitud instrumental media Vi y el dato de
Cudworth y Monet es de -0.02 magnitudes.

Figura 7. Curvas de brillo de las 6 estrellas S
medidas con AstroArt, las cuales se han mostrado
constantes (dentro de la precisión de nuestras
mediciones) a lo largo de la campaña
fotométrica del año 2003: han sido
dispuestas en parejas para apreciar
mejor la diferencia de brillo entre ellas, la
dispersión en las mediciones y los rangos
instrumentales medidos. En el eje vertical la magnitud
instrumental Vi, en el eje horizontal la fecha (DJ
52819.660 + día).

S3 (L109):
De magnitud 13.32b es lo suficientemente débil como
para no encontrarse en la cima de la rama de las gigantes
rojas (reino de las posibles variables pulsantes),
presentando una
temperatura efectiva de 4750º K (índice de
color B-V: 0.95); ha aparecido constante en el rango
13.150-13.396 (Vi: 13.257); su debilidad ha originado una
mayor dispersión que sube a nada menos que
0.246 magnitudes: esto equivale a haber medido el brillo de
un astro no variable de magnitud 13.257 (: 0.061). La diferencia
entre la Vi que nosotros obtenemos y la ofrecida por
Cudworth y Monet es de -0.06 magnitudes.

S7 (L244):
De magnitud 12.67b y con una temperatura efectiva en torno
a los 4350º K (índice de
color B-V: 1.29) tampoco debe ser variable; nuestras
mediciones así lo demuestran. Se ha detectado en el
rango 12.525-12.702 (Vi: 12.613) con una amplitud ficticia
de 0.177 magnitudes, que equivale a haber medido el brillo
de un astro no variable de magnitud 12.613 (: 0.045). La diferencia
de nuestra Vi con el brillo facilitado por Cudworth y Monet
es de -0.06 magnitudes.

S5 (L316):
Muy similar a S7 en magnitud V (12.58b), índice de
color B-V (1.23) y temperatura efectiva (4350º K),
tampoco presenta oscilaciones de brillo dentro de nuestra
precisión instrumental. Se ha medido en el rango
12.435-12.564 (Vi: 12.502) con una dispersión de
0.129 magnitudes, lo que equivale a un astro fijo de
magnitud 12.502 (: 0.034). La diferencia
de nuestra Vi con la magnitud determinado por Cudworth y
Monet es de -0.08 magnitudes.

S6 (L198):
Con magnitud 12.95b es un poco más caliente que las
anteriores (4500º K e índice de color B-V:
1.07) por lo cual tampoco debemos esperar variabilidad
alguna; nuestras mediciones la muestran constante en su
brillo a lo largo del período estudiado en el rango
12.829-13.027 (Vi: 12.927); su debilidad ha originado una
mayor amplitud ficticia (dispersión) que sube
a nada menos que 0.198 magnitudes: esto equivale a haber
medido el brillo de un astro no variable de magnitud 12.927
(: 0.048). La diferencia
entre la magnitud instrumental media Vi y el valor ofrecido
por Cudworth y Monet es de -0.02 magnitudes.

S1 (L158):
De magnitud 12.70b es levemente más fría
(4400º K e índice de color B-V: 1.19) pero a la
vez más caliente que las gigantes rojas variables
bien conocidas; se ha mostrado constante en brillo dentro
del rango 12.630-12.737 (Vi: 12.680) con una
dispersión de 0.107 magnitudes, lo que equivale a un
brillo constante de magnitud 12.680 (:
0.029). La diferencia entre nuestra Vi y el valor
facilitado en el trabajo de Cudworth y Monet es de -0.02
magnitudes.

Figura 8. Curvas de brillo de L853, L877 y L961: de
nuevo dibujan líneas rectas y tampoco parecen ser
variables.

L853:
Es un astro de magnitud 12.25c con un índice de
color B-V: 1.39 que no propicia la variabilidad al
presentar una temperatura superficial (4200º K)
levemente más caliente que la de las demás
variables gigantes rojas; debido a que aparecen algunas
débiles estrellas en sus inmediaciones medimos un
brillo levemente superior a esta magnitud: se ha encontrado
en el rango 12.111- 12.227 (Vi: 12.174) con una amplitud
ficticia de 0.115 magnitudes; esto es equivalente a haber
medido el brillo de un astro fijo de magnitud 12.174
(: 0.035). La diferencia
con el dato de Osborn es de 0.08 magnitudes: se ha mostrado
constante en brillo a lo largo de toda la
campaña.

L877:
Tampoco fue observada por Osborn; con magnitud 13.03b es
también demasiado caliente
(4500º K con índice de color B-V: 1.07) como
para ser realmente variable; se la ha detectado en el rango
12.914-13.103 (Vi: 13.013) con una amplitud ficticia de
0.189 magnitudes: esto equivale a haber medido el brillo de
un astro no variable de magnitud 13.013 (: 0.049). La diferencia
entre la Vi y el brillo medido por Cudworth y Monet es
igual a -0.02 magnitudes.

L961:
De magnitud 13.41c es la estrella no variable más
débil estudiada, de ahí que la
dispersión
en su curva de luz (una recta) sea medianamente grande. Por
su índice de color B-V (0.93) y temperatura tan
elevada (4800º K) tampoco debe ser variable: nuestras
mediciones la ofrecen constante en su brillo a lo largo del
período estudiado en el rango 13.221-13.397 (Vi:
13.316); su debilidad ha originado una mayor
dispersión en las mediciones que sube a 0.176
magnitudes: esto equivale a haber medido el brillo de un
astro no variable de magnitud 13.316 (: 0.048). La diferencia
entre la magnitud instrumental media Vi y el valor de
Osborn es de -0.09 magnitudes.

Pese a que la magnitud instrumental media Vi que hemos
determinado no nos sirve de mucho, al no haberse transformado al
sistema estándar, puede apreciarse que en la inmensa
mayoría de los casos apenas si difiere en unas
centésimas de magnitud de la magnitud estándar.

Resultados obtenidos: las columnas ofrecen el nombre,
la magnitud estándar
Vb o Vc, la magnitud instrumental media
Vi, la diferencia entre ambas, la
dispersión o amplitud real (esta última
sólo en las 3 variables finales), la
desviación estándar y
el número de medidas tomadas.

En la tabla superior mostramos los resultados de la
campaña: las distintas columnas ofrecen el nombre, la
magnitud estándar Vb o Vc, la magnitud
instrumental media Vi, la diferencia entre ambas, la
dispersión (falsa amplitud), la desviación
estándar y el número de medidas
tomados de cada estrella. Como comparación insertamos 3
estrellas variables (V2, V11 y V24) que permiten apreciar la
diferencia en la estimación de la magnitud instrumental
Vi, el error cometido con respecto a la magnitud estándar,
su verdadera amplitud y la desviación típica
: podemos apreciar que
ésta es muy superior a la de los astros no variables
también estudiados.

Otro punto a destacar es el error aleatorio, en este caso
bien visible en forma de dispersión de puntos: incluso en
el peor de los casos -astros débiles o mal situados- este
valor no ha rebasado las 0.246 magnitudes manteniéndose
dentro del rango 0.115-0.219 magnitudes: por su parte
ha oscilado entre 0.029 y
0.061 magnitudes.

Dado que estos valores nos parecen excesivamente altos podemos
buscar en la bibliografía
profesional algún trabajo similar para compararlos:
encontramos el ya mencionado estudio de Welty en el que busca
indicios de variabilidad al determinar el valor para
distintas estrellas de M13, analizando 64 fotografías en
luz azul obtenidas por Kyle Cudworth con el reflector de 100 cm
del Observatorio Yerkes.

En su trabajo sólo aparecen tabuladas 6 de las 12
estrellas observadas por nosotros, aunque podemos añadir
las variables V2 y V11 que sí midió con lo cual ya
podemos comparar un poco mejor nuestro valor (VB) con el suyo
(W):

Estrella	VB	W
L199 L109 L158 L773 L877 L961 V2 V11	0.042 0.061 0.029 0.051 0.049 0.048 0.358 0.137	0.071 0.049 0.044 0.054 0.071 0.108 0.424 0.189

Aunque Welty no facilita el valor para todas las
estrellas que hemos estudiado notamos dos cosas: la primera de
ellas es que todos nuestros valores excepto uno (el de L109) son
más reducidos que los suyos y la segunda es que (salvo
para la débil L961, cuyo valor es más del doble del
nuestro) ambos conjuntos de datos son plenamente consistentes
entre si.

Ambos equipos coincidimos en los resultados: no apreciamos
variabilidad en ninguna de las
estrellas que han sido estudiadas.

Figura 9. Búsqueda de variabilidad empleando
como criterio el valor : mientras que
8 conocidas variables rojas muestran una gran
dispersión (zona izquierda), las 12 estrellas
estudiadas sólo presentan la dispersión
aleatoria que se incrementa de modo perceptible con su
debilidad.

En el figura 9 hemos querido mostrar cómo la
desviación estándar nos indica el camino hacia la
búsqueda de variabilidad, tomando 8 valores del trabajo de
Welty (correspondiente a otras tantas variables del tipo
gigante roja) y comparándolos con los obtenidos por
nosotros en este trabajo.

Notamos enseguida que las variables presentan valores de
por encima de 0.071 pero
ninguno de los nuestros, salvo los de los astros más
débiles (por ejemplo L109, de magnitud 13.32), pasa de
0.06; también se aprecia que la dispersión aumenta
casi de modo lineal a medida que son más débiles
las estrellas estudiadas.

CONCLUSIÓN

Hemos medido 12 estrellas -entre sospechosas de
variabilidad, no variables y otros astros cuidadosamente
elegidos- durante 46 noches distintas en el intervalo
D.J. 52810.65 al 52945.27, por medio de un telescopio
catadrióptrico de 203 mm de abertura y 2.000 mm de focal,
una cámara CCD Starlight Xpress MX516 (de 16 bits)
y filtro fotométrico V Johnson, analizando las
imágenes capturadas con el programa AstroArt.

Ateniéndonos a sus curvas de brillo (dispersión de
puntos) y amplitud ficticia (error) ninguna de las estrellas
bajo estudio ha mostrado variabilidad (Vi <
0.1 mag.); la desviación estándar ha oscilado entre
0.029 y 0.061 magnitudes según el brillo propio de cada
estrella y su posición dentro del cúmulo.

Se ha determinado la magnitud instrumental media Vi y
hemos comprobado que, salvo en 2
casos (con brillos instrumentales de hasta 0.07 magnitudes sobre
la magnitud estándar), siempre obtenemos valores de
0.02 a 0.08 magnitudes inferiores a las estándar;
en un único caso (precisamente en la estrella más
débil) esta diferencia llega a 0.09 magnitudes menos del
brillo esperado. En 5 casos la diferencia es igual a -0.02 mag. y
en los otros 7 casos el rango va de -0.09 a 0.07 mag; la
moda nos muestra cuál el error más
frecuente: -0.02 magnitudes.

Figura 10. Sencillo diagrama H-R de las estrellas
estudiadas: sólo muestran variabilidad los astros
más fríos con índices de color
B-V>1.40; para completarlo un poco hemos
añadido también 3 cefeidas, una errante
azul (L222) y 9 variables rojas (rombos grises).

Con respecto a la hipótesis de Osborn (mencionada por
primera vez al final de su estudio sobre gigantes rojas de M13,
del año 1977) comprobamos que los resultados
fotométricos obtenidos son plenamente consistente con
ella, ya que al representar en un diagrama H-R esquemático
la magnitud V frente al índice de color B-V (figura 10)
sólo apreciamos variabilidad en los astros con
índices de color B-V > 1.40 los cuales aparecen
apiñados
en la esquina superior derecha: hemos insertado 9 variables rojas
bien estudiadas (todas las presentadas en la figura 9
además de V40), 3 cefeidas (V1, V2 y V6) y una errante
azul (L222). Por otro lado al representar un diagrama con la
magnitud V frente a la temperatura efectiva (figura 11)
comprobamos lo mismo: sólo son variables aquellos astros
más fríos que se aglomeran en la parte superior
izquierda.

Figura 11. Posible criterio de variabilidad: las
estrellas más frías (temperatura efectiva
inferior a 4100º K) suelen ser variables, por contra
todas las estrellas estudiadas por nosotros son algo
más
calientes (por encima de 4175º K) y no dan muestras
de variablilidad alguna.

AGRADECIMIENTOS
Deseamos mostrar nuestro agradecimiento al Dr. Florentino
Sánchez Bajo (Universidad de Extremadura) por sus
valiosas críticas, comentarios y sugerencias que han
ayudado a mejorar la calidad y contenido de este sencillo
trabajo.

BIBLIOGRAFÍA

Investigacion of the red
variable stars of M13, Osborn, W. y Fuenmayor, F. (AJ 82, 3950,
1977).

Astrometry in the globular cluster M13. I. New proper motions and
membership probabilities, Cudworth, K. M. y Monet, D. G. (AJ 84,
774C, 1979).

A search for giant and asymptotic-giant-branch variable stars in
six globular clusters, Welty, D. E.
(AJ 90, 1555, 1985).

Proton capture chains in globular cluster stars. I, Pilachwski,
C. A., Sneden, C., Kraft, R. P y Langer, G. E. (AJ 112, 545P,
1996).

HD194378 – A New Eclipsing Binary in the Open Cluster M29 (=
NGC6913), Kim, S. L. y Lee, S. W., IBVS 4331 (1996).

Variable Stars in M13, Wayne Osborn (AJ 119, 2902- 2902,
2000).

Variable Stars in Galactic Globular Clusters. C. Clement, A. C.
M. Muzzin, Q. Q. Dufton, T. Ponnanpalam, J. Wang, J. Burford, A.
Richardson, T. Rosebery, Jason Rowe y Helen Sawyer Hogg (AJ 122,
2587-2599, 2001).

Variable stars in the globular cluster M 13, Kopacki, G.;
Kolaczkowski, Z. y Pigulski, A. (A&A 398, 541K, 2003).

EN INTERNET
Fotometría CCD:

http://fisica.usac.edu.gt/public/tesis_lic/eduardo_e/node30.html

Dispersión y error:
http://vppx134.vp.ehu.es/fisica/agustin/errores/node13.html

Desviación
estándar:
http://vppx134.vp.ehu.es/fisica/agustin/errores/node14.html

Errores en las medidas:
http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/teoria/A_Franco/unidades/medidas/medidas.htm

Teoría de errores:
http://temo.icmuv.uv.es/Pages/msup/Errores2.htm

Detección de variabilidad:
http://fisica.usac.edu.gt/public/tesis_lic/eduardo_e/node33.html

http://www.astrogea.org/instrumental/patrol.htm

Asociación de Variabilistas de
España – Asesores Astronómicos Cacereños
Observatorio Astronómico de Cáceres
(España), 25 de Enero de 2004.

Autor:

Francisco A. Violat Bordonau

Toni Bennasar Andreu

Asesores Astronómicos
Cacereños

Partes: 1, 2

Página anterior

Volver al principio del trabajo

Página siguiente